نویسنده: رضا شکرزاد
در این پست تلاش شده است تمامی نمودارهای مهم و معروف ریاضی عمومی که برای به تسلط رسیدن در حل مسائل امتحان و کنکور ارشد لازم است ارائه شود:
یکی از تکنیک‌های به تسلط رسیدن در درس ریاضی عمومی1و2 استفاده از نمودار توابع خاص و کمک گرفتن از مفاهیمی مانند انتقال یا فشرده و گسترده‌سازی است.
به عنوان اولین نکته باید بدانیم که تمامی کتاب‌های مرجع بدون استثنا زمانی که می‌خواهند نمودار یک تابع را برای اولین بار معرفی کنند و آن را رسم کنند فقط با نقطه‌یابی (تعداد زیاد) اقدام به رسم آن می‌کنند. (پیش‌فرض کتاب‌ها این هست هنوز هیچ مفهومی در ریاضی را نخوانده‌ایم و نمی‌دانیم چطور باید اثبات کنیم که نمودار یک تابع خاص چگونه است و لذا تنها با نقطه‌یابی و تجربی آن‌ها را رسم می‌کند)
برای نمونه در ادامه شیوه رسم نمودار تابع مشهور می‌بینیم :
حالا سوال این است که از کجا می‌فهمیم وقتی باید این نقاط را به هم وصل کنیم به صورت منحنی باید این کار را بکنیم و خط شکسته نیست یا میزان این انحنا چقدر است؟
ریاضی عمومی به طور ویژه در مباحث مشتق (ریاضی1) و انحنا (ریاضی2) به این سوالات جواب می‌دهد.
سوال بعدی این است که با نگاه کردن به نمودار یک منحنی از کجا بفهمیم آن منحنی تابع است؟
برای این منظور کافیست خطوطی موازی محور oy رسم کنیم، اگر در بیش از یک نقطه از منحنی عبور نمود، نمودار مورد نظر تابع نمی‌باشد.
تابع نیست تابع است تابع است
مثلا در زیر نمودار منحنی یک دایره را مشاهده میکنیم که تابع نیست ولی نیم‌دایره‌های تشکیل دهنده آن به تنهایی تابع هستند.
حالا با توضیحات داده شده می‌خواهیم به ترتیب با نمودارهای مشهور ریاضی بیشتر آشنا بشیم:
دسته اول- نمودار توابع جبری درجه n :
نمودارهای فوق حالت بسیار ساده از توابع جبری هستند. نمودارهای زیر فرمی پیچیده‌تر از این توابع را نشان می‌دهد که البته در کلاس به شیوه ترسیم این نمودارها اشاره خواهیم کرد.
حالت بسیار ابتدایی توابع جبری، حالت تابع ثابت (درجه صفر) و حالت خطی (درجه1) است که در توابع جبری خطی یک خط با شیب مشخص باید ترسیم گردد.
دسته دوم- نمودار توابع هموگرافیک:
این توابع همان جبری‌ها با توان منفی هستند که در این صورت به مخرج می‌روند و توابع کسری تولید می‌کنند.
توابع هموگرافیک توابعی هستند که کسری هستند و مخرج آن‌ها شامل متغیر است. نمودار این توابع دارای مجانب است. (با مفهوم مجانب در فصل 2 کتاب ریاضی1 آشنا می‌شویم). در زیر تعدادی دیگر از توابع هموگرافیک پیچیده‌تر مشاهده میکنیم:
دسته سوم- نمودار توابع رادیکالی:
این توابع همان جبری‌ها با توان کسری هستند که در این صورت رادیکال به وجود می‌آید.
دسته چهارم- نمودار توابع علامت: (Sign Functions)
تابع علامت 3 ضابطه‌ای با شرایط مرزی ای که بر اساس علامت عبارت جلوی تابع تعیین می‌شود. خروجی این تابع براساس شرایطی می‌تواند روی علامت ضرایبش تأثیرگذار باشد.
دسته پنجم- نمودار توابع شامل قدرمطلق: (Absolute Value Functions)
خاصیت قدرمطلق شکاندن و تبدیل به مثبت کردن است. از آنجایی که خروجی قدرمطلق مثبت است، در راستای محور ها، تابع را می‌شکند و همه قسمت‌های آن را در بالای محور ها نمایش می‌دهد.
دسته ششم- نمودار توابع y = f(|x|) :
از آنجا که این تابع همواره زوج می‌باشد و و f(-x) = f(x) نسبت به محور oy متقارن است، برای رسم آن کافی است ابتدا نمودار تابع بدون قدرمطلق، شاخه‌های سمت راست را رسم نموده، سپس همان را نسبت به oy قرینه نماییم.
دسته هفتم- نمودار توابع جزء صحیح : (Integer Functions)
از آنجا که خروجی تابع جزء‌صحیح، مقادیری صحیح از y می‌باشد، نمودار این توابع نیز قطعه خط‌هایی به عرض اعداد صحیح خواهد بود. برای رسم نمودار این توابع کافیست ابتدا نمودار بدون براکت تابع را رسم نموده، مقادیر نمودار را در فواصل مشخص روی خطوط افقی ماقبل خود تصویر‌کنیم.
نمودارهای زیر به خوبی تفاوت "براکت کف" و "براکت سقف" گرفتن را نشان می‌دهند.
دسته هشتم- نمودار توابع مثلثاتی:
مهم‌ترین نمودارهای مثلثاتی نمودارهای سینوس و کسینوس هستند که باید به خوبی روی آن‌ها مسلط باشیم.
همچنین نمودار توابع تانژانت و کتانژانت در اولویت‌های بعدی قرار دارد:
دسته نهم- نمودار توابع لگاریتمی:
این توابع بر حسب مبنایی که دارند که بزرگتر از 1 باشد یا بین صفر و 1 دو نوع نمودار به ترتیب صعودی و نزولی دارند:
دسته دهم- نمودار توابع نمایی:
این توابع بر حسب پایه‌ای که دارند که بزرگتر از 1 باشد یا بین صفر و 1 دو نوع نمودار به ترتیب صعودی و نزولی دارند:
دسته یازدهم- نمودار توابع هیپربولیکی:
برای این توابع تنها نمودار توابع سینوس و کسینوس هیپربولیک مهم است که بدانیم. سایر نمودارها را برای کامل بودن جزوه‌تان آورده‌ایم:
دسته یازدهم- نمودار توابع چندضابطه‌اي:
جهت رسم اين توابع کافی است روي محور xها شرط بازه را عايت نموده و منحني مورد نظر را در اين بازه رسم نماييم و به سراغ بازه بعدي برويم:
تذکر: قوانین اعمال تغييرات روي نمودارها:
در ابتدا قانون شيفت (انتقال) متغيرها (مستقل و وابسته يعني همان xوy) را در قالب جدول زير بررسی می‌کنيم:
همچنين در نمودارهاي زير مي‌توانيم قوانين فشرده و گسترده‌سازي نمودارها يا قرينه کردن متغيرها را مشاهده کنيم:
جمع‌بندي:
نمودارهايي که در قالب 11 دسته به همراه قوانين تغييرات آورده شد از مواردي است که دانش عمومي ما در حل مسائل رياضي محسوب مي‌شود و حتما بايد آن‌ها را حفظ باشيم.
ولي به طور کلي در فصل مشتق در کلاس نشان خواهيم داد که چطور مي‌توانيم با کمک مفاهيمي تخصصي‌تر (البته ساده) حتي نمودارهاي به ظاهر پيچيده زير را نيز رسم کنيم:
فرزین
دمت گرم خفن
حامد
عالی