گام ۱ — معادله خط مماس در نقطهٔ تماس دلخواه
فرض کنید نقطهٔ تماس روی منحنی $y=a+\dfrac{b}{x}$ در $x=t$ باشد. پس مختصات نقطهٔ تماس $\left(t,\; a+\dfrac{b}{t}\right)$ است. شیب مماس از مشتق به دست می‌آید: $y'=-\dfrac{b}{x^2}\;\Longrightarrow\; m=-\dfrac{b}{t^2}$.

گام ۲ — شرط گذر مماس از نقطهٔ $(2,-3)$
خط مماس باید از $(2,-3)$ بگذرد. شیب بین نقطهٔ تماس و این نقطه باید با شیب مشتق برابر باشد: $-3-\left(a+\dfrac{b}{t}\right)=-\dfrac{b}{t^2}(2-t)$. سمت راست را باز می‌کنیم: $-3-a-\dfrac{b}{t}=-\dfrac{2b}{t^2}+\dfrac{b}{t}$. جملات مشابه را جمع کرده و طرفین را در $t^2$ ضرب می‌کنیم: $(3+a)t^2+2bt-2b=0$. این یک معادلهٔ درجهٔ دوم برحسب $t$ است و دو ریشهٔ آن، $t_1$ و $t_2$، همان طول‌های دو نقطهٔ تماس‌اند — چون از نقطهٔ خارجی دو مماس رسم شده است.

گام ۳ — روابط ویت
از معادلهٔ $(3+a)t^2+2bt-2b=0$: $t_1+t_2=\dfrac{-2b}{3+a}\,,\qquad t_1t_2=\dfrac{-2b}{3+a}$. نکتهٔ کلیدی و زیبای این سؤال همین‌جاست: مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها برابرند! $t_1+t_2=t_1t_2$.

گام ۴ — اعمال دادهٔ مسئله
طبق صورت سؤال $t_1t_2=-\dfrac12$، پس بلافاصله $t_1+t_2=-\dfrac12$ — بدون آنکه نیازی به دانستن مقادیر $a$ و $b$ داشته باشیم.

گام ۵ — محاسبهٔ اختلاف طول‌ها
از اتحاد معروف: $(t_1-t_2)^2=(t_1+t_2)^2-4t_1t_2=\left(-\dfrac12\right)^2-4\left(-\dfrac12\right)=\dfrac14+2=\dfrac94$. پس $|t_1-t_2|=\dfrac32$. گزینه ۲ صحیح است.

۳۰ سؤال ریاضی عمومی کنکور ارشد ۱۴۰۵