آموزش نمودارهای ریاضی عمومی (نمودارهایی که باید در ریاضی حفظ باشیم)
وبسایت شخصی رضا شکرزاد - سایت تخصصی ریاضی عمومی کارشناسی ارشد

آموزش نمودارهای ریاضی عمومی (نمودارهایی که باید در ریاضی حفظ باشیم)

نمودارهای معروف ریاضی عمومی

در این مقاله تلاش شده است تمامی نمودارهای مهم و معروف ریاضی عمومی که برای به تسلط رسیدن در حل مسائل امتحان و کنکور ارشد لازم است ارائه دهیم:

دانلود مقاله به صورت فایل  pdf

 

یکی از تکنیک‌های به تسلط رسیدن در درس ریاضی عمومی1و2 استفاده از نمودار توابع خاص و کمک گرفتن از مفاهیمی مانند انتقال یا فشرده و گسترده‌سازی است.

رسم نمودارها

به عنوان اولین نکته باید بدانیم که تمامی کتاب‌های مرجع بدون استثنا زمانی که می‌خواهند نمودار یک تابع را برای اولین بار معرفی کنند و آن‌ را رسم کنند فقط با نقطه‌یابی (تعداد زیاد) اقدام به رسم آن می‌کنند. (پیش‌فرض کتاب‌ها این هست هنوز هیچ مفهومی در ریاضی را نخوانده‌ایم و نمی‌دانیم چطور باید اثبات کنیم که نمودار یک تابع خاص چگونه است و لذا تنها با نقطه‌یابی و تجربی آن‌ها را رسم می‌کند)

برای نمونه در ادامه شیوه رسم نمودار تابع مشهور  می‌بینیم :

رسم نمودار در ریاضی عمومی رسم نمودار در ریاضی عمومی در کنکور کارشناسی ارشد

 حالا سوال این است که از کجا می‌فهمیم وقتی باید این نقاط را به هم وصل کنیم به صورت منحنی باید این کار را بکنیم و خط شکسته نیست یا میزان این انحنا چقدر است؟

آشنایی با نمودار های ریاضی عمومی

ریاضی عمومی به طور ویژه در مباحث مشتق (ریاضی1) و انحنا (ریاضی2) به این سوالات جواب می‌دهد.

 

سوال بعدی این است که با نگاه کردن به نمودار یک منحنی از کجا بفهمیم آن منحنی تابع است؟

برای این منظور کافیست خطوطی موازی محور oy رسم کنیم، اگر در بیش از یک نقطه از منحنی عبور نمود، نمودار مورد نظر تابع نمی‌باشد.

شرط تابع بودن در ریاضی عمومی

                                                                                                 تابع نیست                                                                                                      تابع است                                                                                                                                 تابع است

مثلا در زیر نمودار منحنی یک دایره را مشاهده میکنیم که تابع نیست ولی نیم‌دایره‌های تشکیل دهنده آن به تنهایی تابع هستند.

تابع بودن و تابع نبودن در ریاضیات عمومی 1 و 2 رسم تابع و تشخیص تابع بودن

حالا با توضیحات داده شده می‌خواهیم به ترتیب با نمودارهای مشهور ریاضی بیشتر آشنا بشیم:

دسته اول- نمودار توابع جبری درجه n :

 

 نمودار مشهور ریاضی عمومی 1 و 2 کنکورکارشناسی ارشد نمودار توابع جبری

 

نمودارهای فوق حالت بسیار ساده از توابع جبری هستند. نمودارهای زیر فرمی پیچیده‌تر از این توابع را نشان می‌دهد که البته در کلاس به شیوه ترسیم این نمودارها اشاره خواهیم کرد.

نمودار های پیچیده ریاضی

 

حالت بسیار ابتدایی توابع جبری، حالت تابع ثابت (درجه صفر) و حالت خطی (درجه1) است که در توابع جبری خطی یک خط با شیب مشخص باید ترسیم گردد.

رسم نمودار پیچیده در ریاضی عمومی کنکور کارشناسی ارشد

 

دسته دوم- نمودار توابع هموگرافیک:

این توابع همان جبری‌ها با توان منفی هستند که در این صورت به مخرج می‌روند و توابع کسری تولید می‌کنند.

نمودار توابع هموگرافیک

توابع هموگرافیک توابعی هستند که کسری هستند و مخرج آن‌ها شامل متغیر است. نمودار این توابع دارای مجانب است. (با مفهوم مجانب در فصل 2 کتاب ریاضی1 آشنا می‌شویم). در زیر تعدادی دیگر از توابع هموگرافیک پیچیده‌تر مشاهده می‌کنیم:

رسم نمودار توابع هموگرافیک

دسته سوم- نمودار توابع رادیکالی:

این توابع همان جبری‌ها با توان کسری هستند که در این صورت رادیکال به وجود می‌آید.

رسم نمودارهای ریاضی عمومی و رسم نمودار توابع رادیکالی

دسته چهارم- نمودار توابع علامت:      (Sign Functions)

تابع علامت 3 ضابطه‌ای با شرایط مرزی ای که بر اساس علامت عبارت جلوی تابع تعیین می‌شود. خروجی این تابع براساس شرایطی می‌تواند روی علامت ضرایبش تأثیرگذار باشد.

رسم نمودار توابع علامت

دسته پنجم- نمودار توابع شامل قدرمطلق:      (Absolute Value Functions)

خاصیت قدرمطلق شکاندن و تبدیل به مثبت کردن است. از آنجایی که خروجی قدرمطلق مثبت است، در راستای محور ها، تابع را می‌شکند و همه قسمت‌های آن را در بالای محور ها نمایش می‌دهد.

نمودار توابع شامل قدرمطلق

دسته ششم- نمودار توابع  y = f(|x|) :

از آنجا که این تابع همواره زوج می‌باشد و  و  f(-x) = f(x) نسبت به محور oy‌ متقارن است، برای رسم آن کافی است ابتدا نمودار تابع بدون قدرمطلق، شاخه‌های سمت راست  را رسم نموده، سپس همان را نسبت به oy قرینه نماییم.

دسته هفتم- نمودار توابع جزء صحیح :  (Integer Functions)

از آنجا که خروجی تابع جزء‌صحیح، مقادیری صحیح از y‌ می‌باشد، نمودار این توابع نیز قطعه خط‌هایی به عرض اعداد صحیح خواهد بود. برای رسم نمودار این توابع کافیست ابتدا نمودار بدون براکت تابع را رسم نموده، مقادیر نمودار را در فواصل مشخص روی خطوط افقی ماقبل خود تصویر‌کنیم.

نمودار توابع جزء صحیح

 نمودارهای زیر به خوبی تفاوت "براکت کف" و "براکت سقف" گرفتن را نشان می‌دهند.

نمودار توابع جزء صحیح

نمودار توابع جزء صحیح

دسته هشتم- نمودار توابع مثلثاتی:

مهم‌ترین نمودارهای مثلثاتی نمودارهای سینوس و کسینوس هستند که باید به خوبی روی آن‌ها مسلط باشیم.

نمودارهای مثلثاتی سینوس و کسینوس

همچنین نمودار توابع تانژانت و کتانژانت در اولویت‌های بعدی قرار دارد:

توابع تانژانت و کتانژانت

دسته نهم- نمودار توابع لگاریتمی:

این توابع بر حسب مبنایی که دارند که بزرگتر از 1 باشد یا بین صفر و 1 دو نوع نمودار به ترتیب صعودی و نزولی دارند:

نمودار توابع لگاریتمی

دسته دهم- نمودار توابع نمایی:

این توابع بر حسب پایه‌ای که دارند که بزرگتر از 1 باشد یا بین صفر و 1 دو نوع نمودار به ترتیب صعودی و نزولی دارند:

 نمودار توابع نمایی

دسته یازدهم- نمودار توابع هیپربولیکی:

برای این توابع تنها نمودار توابع سینوس و کسینوس هیپربولیک مهم است که بدانیم. سایر نمودارها را برای کامل بودن جزوه‌تان آورده‌ایم:

نمودار توابع هیپربولیکی

دسته یازدهم- نمودار توابع چندضابطه‌اي:

جهت رسم اين توابع کافي‌است روي محور xها شرط بازه را عايت نموده و منحني مورد نظر را در اين بازه رسم نماييم و به سراغ بازه بعدي برويم:

نمودار توابع چندضابطه‌اي                  نمودار توابع چندضابطه‌اي

تذکر: قوانین اعمال تغييرات روي نمودارها:

در ابتدا قانون شيفت (انتقال) متغيرها (مستقل و وابسته يعني همان xوy) را در قالب جدول زير بررسي مي‌کنيم:

 قوانین اعمال تغييرات روي نمودارها

همچنين در نمودارهاي زير مي‌توانيم قوانين فشرده‌ و گسترده‌سازي نمودارها يا قرينه کردن متغيرها را مشاهده کنيم:

قوانين فشرده‌ و گسترده‌سازي نمودارها و قرينه کردن متغيرها

جمع‌بندي:

نمودارهايي که در قالب 11 دسته به همراه قوانين تغييرات آورده شد از مواردي است که دانش عمومي ما در حل مسائل رياضي محسوب مي‌شود و حتما بايد آن‌ها را حفظ باشيم.

ولي به طور کلي در فصل مشتق در کلاس نشان خواهيم داد که چطور مي‌توانيم با کمک مفاهيمي تخصصي‌تر (البته ساده) حتي نمودارهاي به ظاهر پيچيده زير را نيز رسم کنيم:

رسم نمودار ها